Jít skrz čtvrť nebo kolem?

Question

Otázka z páté třídy: představte si čtvercovou čtvrť 1 × 1 km s ulicemi do čtverců a potřebujete dojít z JZ rohu do SV rohu. Ať půjdete po obvodu nebo kličkujete ulicemi, ujdete stejnou vzdálenost. A ta bude (při ploše 1 × 1 km) stejná, i když místo domů budou vilky, místo vilek stany, místo stanů hroby a nakonec třeba bábovičky.

Asi tušíte, že mířím nejen k SV rohu, ale také k otázce, kdy se z cesty vnitřkem stane přepona trojúhelníka a tedy bude z ničeho nic skoro o třetinu kratší.

Nestrašte mě limitami, je tu totiž rozdíl: obvod mnohoúhelníku se s počtem vrcholů neustále přibližuje opsané kružnici. I ten Achilles (ač po menších a menších kouscích) tu želvu čím dál víc dohání. Tady je to ale pořád 2 a najednou 1,414.

Answer 1

Vyjde to nastejno

Answer 2

Že míříš k SV rohu jsem celkem pochopil. Kam míříš ovšem s otázkou, to dost dobře nechápu. Myslím, že zadání neni úplné.

Comments

a) že je zubatá cesta přes čtvrť stejně dlouhá jako kolem čtvrti, je jasné
b) jenže jak se zoubky zmenšují, tak zubatá být přestane a pak bude o 30% kratší
c) mnohoúhelník přechází v kruh "plynule", zatímco přepona (cesta napříč čtvrtí) jaksi "naráz"

Answer 3

Myslím si, že ten okamžik nastane v tu chvíli, když se délka jednotlivé ulice mezi pravoúhlými zatáčkami stane kratší, než jeden krok.